Γ΄ Λυκειου

Επιτέλους τι είναι αυτή η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης;

Γνωρίζουμε ότι ένα παραμορφωμένο ελατήριο έχει ελαστική δυναμική ενέργεια clip_image002 όπου κ η σταθερά του ελατηρίου και Δclip_image002[10] η παραμόρφωση του ελατηρίου, η απόσταση δηλαδή του παραμορφωμένου άκρου του από το φυσικό του μήκος (Φ.Μ.). Στην Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ.)ενός συστήματος μάζας – οριζόντιου ελατηρίου, η θέση ισορροπίας (Θ.Ι.) ταυτίζεται με το φυσικό μήκος με αποτέλεσμα η απομάκρυνση χ να ταυτίζεται με την παραμόρφωση Δclip_image002[12], οπότε η ελαστική δυναμική ενέργεια γράφεται Uελ =clip_image002[8]Μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι για την περίπτωση του οριζόντιου ελατηρίου, η σχέση clip_image002[8]την οποία αποκαλούμε  δυναμική ενέργεια ταλάντωσης U είναι ουσιαστικά η ελαστική δυναμική ενέργεια Uελ . Έτσι  γράψουμε:

U =clip_image002[14]

Τι γίνεται όμως στην περίπτωση του κατακόρυφου ελατηρίου, όπου η Θ.Ι. δεν ταυτίζεται με το Φ.Μ., οπότε και η παραμόρφωση Δclip_image002[16] δεν ταυτίζεται με την απομάκρυνση χ; Ας  εξετάσουμε το ερώτημα αναλυτικά:

image

Στο σχήμα φαίνεται ένα σύστημα μάζας – κατακόρυφου ελατηρίου στο οποίο το φυσικό μήκος βρίσκεται σε ύψος h από το έδαφος. Καθώς το σύστημα ταλαντώνεται εμφανίζονται δυο μορφές δυναμικής ενέργειας : η ελαστική δυναμική ενέργεια Uελ εξ αιτίας της παραμόρφωσης του ελατηρίου και η βαρυτική δυναμική ενέργεια UB ως προς το επίπεδο του εδάφους. Το σύστημα λοιπόν έχει ολική δυναμική ενέργεια Uολ :

Uολ = UΒ + Uελ

Σύμφωνα με το σχήμα, στη Θ.Ι. της ταλάντωσης η ολική δυναμική ενέργεια Uο ισούται με:

Uo = mg (h – Δℓ) + clip_image002[18]= σταθ. (1)

Στην Τ.Θ. κάτω από τη Θ.Ι. της ταλάντωσης η ολική δυναμική ενέργεια Uολ’  ισούται με:

Uολ= mg (h – Δℓ – χ) + clip_image002[20]  (2)

Στην Τ.Θ. πάνω από τη Θ.Ι. της ταλάντωσης η ολική δυναμική ενέργεια Uολ’’  ισούται με:

Uολ’’ = mg [h –( Δℓ – χ)] + clip_image002[22]  (3)

Η μεταβολή στην ολική δυναμική ενέργεια ΔU = Uολ’ – Uo ισούται με :

ΔU = mg (h – Δℓ – χ) + clip_image002[24]– mg (h – Δℓ) + clip_image004clip_image006

ΔU = mg h – mgΔℓ – mgχ + clip_image008+ κ Δℓ x – mg h + mg Δℓ – clip_image004[1]clip_image006[1]

ΔU = – mgχ + clip_image010+ κ Δℓ x  (4)

Όμως από τη συνθήκη ισορροπίας στη Θ.Ι της ταλάντωσης έχουμε:

ΣF = 0 clip_image002[26] mg = κ Δclip_image004[6] clip_image002[27] mgx = κ Δclip_image004[7] x  (5)

Απο (4) και (5) καταλήγουμε στη σχέση:

ΔU =  clip_image010

Η μεταβολή στην ολική δυναμική ενέργεια ΔU = Uολ’’ – Uo ισούται με :

ΔU = mg [h – (Δℓ – χ)] + clip_image002[30]– mg (h – Δℓ) + clip_image004[10]clip_image006[6]

ΔU = mg h – mgΔℓ -+mgχ + clip_image008[4]-κ Δℓ x – mg h + mg Δℓ – clip_image004[11]clip_image006[7]

ΔU = +mgχ + clip_image010[7]-κ Δℓ x clip_image012

ΔU =  clip_image010

Η σχέση λοιπόν   clip_image010 , όπου χ η απομάκρυνση από τη Θ.Ι. της ταλάντωσης, εκφράζει την  μεταβολή στην ολική δυναμική ενέργεια ΔU, από τη Θ.Ι. της ταλάντωσης σε μια τυχαία θέση και της δώσαμε το όνομα δυναμική ενέργεια ταλάντωσης. Ουσιαστικά με τη σχέση αυτή περιγράφουμε ενεργειακά πιο απλά την Α.Α.Τ. σε όλες τις περιπτώσεις που το ελατήριο δεν είναι οριζόντιο, αγνοώντας το βαρυτικό πεδίο , μετατοπίζοντας τη θέση αναφοράς από το Φ.Μ. στη Θ.Ι. της ταλάντωσης.

Και μια τελική παρατήρηση.  Αφού ΔU = Uολ – Uo όπου U είναι η ολική δυναμική ενέργεια σε τυχαία θέση και Uo = σταθ. είναι η ολική δυναμική ενέργεια στη Θ.Ι. της ταλάντωσης, καταλήγουμε στην εξής έκφραση για την ολική δυναμική ενέργεια :

Uολ = clip_image010+ σταθ.

Η καμπύλη της ολικής δυναμικής ενέργειας Uολ έχει την ίδια παραβολική μορφή με την καμπύλη της ελαστικής δυναμικής ενέργειας  clip_image002 όπως φαίνεται στις γραφικές παραστάσεις που ακολουθούν.

 

image

clip_image002

image

Uολ = clip_image010+ σταθ

Advertisements
Κλασσικό

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s