Η φυσική της μουσικης

Κουρδίζοντας την κιθάρα με τη βοήθεια της φυσικής

Υπάρχει μια κατηγορία «μουσικών» – καλή ώρα όπως εγώ- τους οποίους αποκαλώ μουσικούς της «κακιάς ώρας», που δυστυχώς η φύση δεν τους προίκισε με μουσικό αυτί και κατά συνέπεια, όσο και να προσπαθούν φιλότιμα, δυσκολεύονται τόσο στην εκτέλεση όσο και στο κούρδισμα ενός μουσικού οργάνου. Βέβαια για το τελευταίο η τεχνολογία πλέον έχει δώσει λύσεις κι έτσι δε χρειάζεται να είναι κάποιος ο Μότσαρτ για να κουρδίσει μια κιθάρα. Το παρόν άρθρο αφορά εκείνους που δεν αρέσκονται στα εύκολα και προτείνει έναν τρόπο κουρδίσματος της κιθάρας με τη χρήση ενός μαθηματικού τύπου, ο οποίος εξάγεται από τη Φυσική που περιγράφει το τέντωμα μιας χορδής και τον ήχο που αυτή παράγει, με απλές παραδοχές.

Η πρώτη μας παραδοχή είναι ότι όταν σφίγγουμε μια ομογενή χορδή, τεντώνεται και παραμορφώνεται όπως ένα ελαστικό νήμα.

Έστω λοιπόν μια χορδή που έχει φυσικό μήκος ℓ της οποίας το ένα άκρο είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Ας υποθέσουμε ότι στο ελεύθερό της άκρο ασκούμε μια δύναμη που την τεντώνει κατά x. Θεωρούμε ότι η εν λόγω παραμόρφωση είναι ελαστική αν, μετά την κατάργηση της δύναμης η χορδή αποκτά το αρχικό της μήκος. Εν γένει για μικρές ελαστικές παραμορφώσεις, όταν δηλαδή xclip_image002ℓ η επιμήκυνση είναι ανάλογη με τη δύναμη που την προκαλεί, άρα και η αντίδραση της δύναμης αυτής που λέγεται δύναμη επαναφοράς υπακούει στον ίδιο νόμο, που ονομάζεται νόμος του Hooke και περιγράφεται από τη σχέση:

F = k x (1)

όπου ο συντελεστής k ονομάζεται ελαστική σταθερά της χορδής και εξαρτάται από τις διαστάσεις της χορδής (εγκάρσια διατομή και μήκος) και το υλικό της. Με άλλα λόγια, όσο πιο παχιά είναι μια χορδή, δηλαδή όσο πιο μεγάλο είναι το εμβαδό S της εγκάρσιας διατομής της, τόσο πιο μεγάλη δύναμη πρέπει να ασκήσουμε στην ελεύθερη άκρη της για να επιτύχουμε την ίδια παραμόρφωση. Αν έχουμε μια ράβδο διατομής S και την συμπιέσουμε με μια δύναμη F, τότε το πηλίκο

σ = clip_image004 (2)

εκφράζει τη μέση πίεση που αναπτύσσεται στα άκρα της.

Με βάση την παραπάνω σχέση μπορούμε να καταλήξουμε σε μια άλλη έκφραση για το νόμο του Hooke. Ξεκινάμε διαιρώντας και τα δύο μέλη της σχέσης F = k x με S :

clip_image004[1] = clip_image006 x

Κατόπιν πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε το δεύτερο μέλος της παραπάνω σχέσης με ℓ :

clip_image004[2] = clip_image008 clip_image010

οπότε καταλήγουμε στη σχέση :

σ = Ε ε (3)

όπου ο συντελεστής Ε ονομάζεται μέτρο ελαστικότητας ή μέτρο του Young και εξαρτάται αποκλειστικά από το υλικό του παραμορφωμένου σώματος και το πηλίκο
ε = clip_image010[1] ονομάζεται ανηγμένη επιμήκυνση.

Αν επεξεργαστούμε τη σχέση (3) καταλήγουμε στην έκφραση :

clip_image004[3] = Ε clip_image012 clip_image014

F = clip_image016 x (4)

που συνδέει τη δύναμη επαναφοράς με τα κατασκευαστικά χαρακτηριστικά της χορδής (διαστάσεις και υλικό) και την επιμήκυνση.

Το επόμενο βήμα είναι να συνδέσουμε τη δύναμη επαναφοράς με τον ήχο που παράγει η χορδή που τεντώνουμε και συγκεκριμένα με τη συχνότητά του. Αυτό επιτυγχάνεται (όπως είχαμε δει στο άρθρο Η φυσική της μουσικής με λίγα μαθηματικά μέρος πρώτο :Χορδές, κλίμακες και κουρδίσματα. )με τη σχέση :

fn = clip_image018 clip_image020 (5)

όπου μ = clip_image022 η γραμμική πυκνότητα (μάζα ανά μονάδα μήκους) της χορδής.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι τον κύριο ρόλο στην ακολουθία των ιδιοσυχνοτήτων fn τον παίζει η θεμελιώδης ιδιοσυχνότητα f1 (n = 1). Αντικαθιστώντας στην (5) όπου μ = clip_image022[1] καταλήγουμε στη σχέση :

f1 = clip_image024 clip_image026 = clip_image028 clip_image030 (6)

για τη θεμελιώδη ιδιοσυχνότητα f1.

Μπορούμε τώρα να συνδέσουμε τη θεμελιώδη ιδιοσυχνότητα f1 με την επιμήκυνση x της χορδής αντικαθιστώντας τη σχέση (4) στην παραπάνω σχέση :

f1 = clip_image028[1] clip_image032 = clip_image028[2] clip_image034 (7)

Ας επιστρέψουμε τώρα στην αρχική μας παραδοχή, ότι έχουμε να κάνουμε με ομογενείς χορδές, οπότε περιοριζόμαστε στην πρώτη και στη δεύτερη χορδή της κιθάρας και μπορούμε να γράψουμε για τη μάζα :

m = ρ V = ρ S ℓ (8)

όπου ρ είναι η πυκνότητα της χορδής. (Οι υπόλοιπες χορδές έχουν πρόσθετη περιέλιξη με αποτέλεσμα η μάζα τους να είναι μεγαλύτερη). Ο συνδυασμός των σχέσεων (7) και (8) δίνει:

f1 = clip_image028[3] clip_image036 (9)

Αφού λοιπόν συνδέσαμε την θεμελιώδη ιδιοσυχνότητα f1 της χορδής με την επιμήκυνσή της, ήρθε η ώρα να περάσουμε στη διαδικασία του κουρδίσματός της.
Όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, η χορδή είναι τυλιγμένη σε έναν μεταλλικό κύλινδρο διαμέτρου d. Ο άξονας του κυλίνδρου συνδέεται με έναν οδοντωτό τροχό τον οποίο μπορούμε να περιστρέφουμε με το κλειδί που είναι συνδεδεμένο μηχανικά με αυτόν.

clip_image038

Ας συμβολίσουμε με Ν τον αριθμό των στροφών που εκτελεί ο κύλινδρος όταν η χορδή επιμηκύνεται κατά x. Αν ο κύλινδρος κάνει Ν = 1 περιστροφή τότε η χορδή επιμηκύνεται κατά πd, οπότε προκύπτει η σχέση :

x = Nπd (10)

Μπορούμε να διαπιστώσουμε πειραματικά ότι μια πλήρης περιστροφή του κυλίνδρου αντιστοιχεί σε 30 πλήρεις περιστροφές του κλειδιού. Έτσι για Ν περιστροφές του κυλίνδρου απαιτούνται n = 30 Ν περιστροφές του κλειδιού. Έτσι η σχέση (10) γίνεται

x = clip_image040 (11)

H αντικατάσταση της σχέσης (11) στην (9) δίνει :

f1 = clip_image028[4] clip_image042 (12)

η οποία λυμένη ως προς n έχει την μορφή :

n = clip_image044 clip_image046 = B clip_image046[1] (13)

όπου

Β =clip_image044[1] (14)

Η τιμή της σταθεράς Β για ρ = 7.800 kg/m3, ℓ = 0,7m (για την πρώτη χορδή), d = 5 10-3m, E = 2 1011 N/m2 είναι:

Β = 10-4 s2

Ήρθε επιτέλους η στιγμή να κουρδίσουμε. Η πρώτη χορδή πρέπει να κουρδιστεί στο Μι με ιδιοσυχνότητα f1 = 300 Hz. Η σχέση (13) δίνει n = 9 πλήρεις περιστροφές. Η δεύτερη χορδή για να κουρδιστεί στο Σι με f1 = 247Hz το κλειδί πρέπει να εκτελέσει n = 6,1 περιστροφές.

Όλα καλά μέχρι εδώ, αλλά η μέθοδος που περιγράψαμε μας κουρδίζει μόνο τις δύο πρώτες χορδές. Τι θα κάνουμε με τις υπόλοιπες; Η φυσική και πάλι μας δίνει τη λύση: Θα προσπαθήσουμε να εξαλείψουμε τα διακροτήματα! (βλέπε Η φυσική της μουσικής με λίγα μαθηματικά μέρος πρώτο :Χορδές, κλίμακες και κουρδίσματα ).

Αν δύο ηχητικά κύματα με παραπλήσιες συχνότητες συνηχήσουν, τότε θα ακούσουμε μια περιοδική αυξομείωση της έντασης του ήχου που προκύπτει. Οι αυξομειώσεις αυτές ονομάζονται διακροτήματα. Έτσι η τρίτη χορδή θα κουρδιστεί με την δεύτερη με τη βοήθεια των διακροτημάτων ως εξής: Γνωρίζουμε ότι ελεύθερη η δεύτερη χορδή πρέπει να έχει την ίδια συχνότητα με την τρίτη χορδή όταν την πιέσουμε με το δάκτυλο στο τέταρτο τάστο. Χτυπώντας τις δυο χορδές ταυτόχρονα, αν οι συχνότητες βρίσκονται κοντά η μια στην άλλη θα ακούσουμε διακροτήματα. Η περίοδος του διακροτήματος Τδ συνδέεται με τις συχνότητες f1 και f2 των δύο χορδών που συνηχούν με τη σχέση:

Τδ = clip_image048 (15)

Περιστρέφοντας λοιπόν το κλειδί της τρίτης χορδής διαπιστώνουμε ότι όσο πλησιάζει η συχνότητά της τη συχνότητα της κουρδισμένης δεύτερης χορδής, ο παρονομαστής της σχέσης (15) τείνει στο μηδέν και η περίοδος των διακροτημάτων στο άπειρο οπότε τα διακροτήματα εξαφανίζονται!

Με την μέθοδο αυτή μπορούμε διαδοχικά να κουρδίσουμε όλες τις χορδές.

Καλά κουρδίσματα.

Αναφορές:

Περιοδικό QUANTUM

Μάρτιος/Απρίλιος 1995 σελ. 38, P. Mikheyev «Ένας μαγικός μουσικός τύπος» και

Ιούλιος/Αύγουστος 1994 σελ. 16, A.A. Dozorov «Η μεγάλη βουτιά»

Advertisements
Κλασσικό

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s