Οι εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, το σχολικό βιβλίο και μια εύλογη απορία.

Η φυσική είναι μια επιστήμη άρρηκτα συνδεδεμένη με τα μαθηματικά. Η πλήρης περιγραφή και κατανόηση ενός φαινομένου απαιτεί πολλές φορές τη χρήση περίπλοκων μαθηματικών. Ένα τέτοιο φαινόμενο είναι και οι εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, των οποίων η ποιοτική περιγραφή και ανάλυση στα πλαίσια ενός σχολικού εγχειριδίου δεν μπορεί παρά να είναι ελλιπής και να αφήνει κενά. Γι αυτό ίσως να μην υπάρχει και για τους μαθητές κανένα παιδαγωγικό όφελος, αλλά αυτό είναι ένα θέμα που αφορά όλους εκείνους τους «σοφούς» που καταρτίζουν τα αναλυτικά προγράμματα.

Η αφορμή για τούτη εδώ την ανάρτηση δόθηκε όταν, προετοιμάζοντας το μάθημα των εξαναγκασμένων ταλαντώσεων, διάβασα σε μια παράγραφο του σχολικού βιβλίου που επιγράφεται ως “Ενεργειακή μελέτη” τα παρακάτω:

…”.Η ενέργεια που προσφέρεται στο σύστημα αντισταθμίζει τις απώλειες και έτσι το πλάτος της ταλάντωσης διατηρείται σταθερό.

Ο τρόπος με τον οποίο το ταλαντούμενο σύστημα αποδέχεται την ενέργεια είναι εκλεκτικός και έχει να κάνει με τη συχνότητα υπό την οποία προσφέρεται. Κατά το συντονισμό η ενέργεια μεταφέρεται στο σύστημα κατά το βέλτιστο τρόπο, γι αυτό και το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται μέγιστο.”

Λίγο ποιό πάνω όπου γίνεται ο συσχετισμός της συχνότητας του διεγέρτη με το πλάτος της ταλάντωσης ποιοτικά, μέσα από την καμπύλη συντονισμού αναφέρονται τα εξής:

…”Στην ιδανική περίπτωση που η ταλάντωση δεν έχει απώλειες ενέργειας (πρακτικά αυτό είναι αδύνατο) όταν f=f_0,το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης γίνεται άπειρο.”

Εδώ κάτι δεν πάει καλά σκέφτηκα. Τι θα απαντήσω αναρωτήθηκα αν κάποιος μαθητής- που δεν μένει στα όσα του προσφέρουν κακοσερβιρισμένα τα ταλαίπωρα σχολικά εγχειρίδια αλλά προτιμά να παιδεύει τη σκέψη του- με ρωτήσει: Αφού – όπως λέει το βιβλίο – το πλάτος της ταλάντωσης διατηρείται σταθερό επειδή η ενέργεια που προσφέρεται στο σύστημα αντισταθμίζει τις απώλειες, τότε γιατί στη ιδανική περίπτωση που η ταλάντωση δεν έχει απώλειες ενέργειας, το πλάτος απειρίζεται μόνο όταν f=f₀ και όχι για οποιαδήποτε τιμή της συχνότητας του διεγέρτη αφού δεν υπάρχουν απώλειες για να αντισταθμίσουν την ενέργεια που προσφέρει ο διεγέρτης; Δυστυχώς η απάντηση στο ερώτημα δεν μπορεί να δοθεί ποιοτικά, γιαυτό θα επικαλεστούμε τη βοήθεια των μαθηματικών.

Ξεκινάμε από την μαθηματική έκφραση του 2ου νόμου του Νεύτωνα για μια εξαναγκασμένη ταλάντωση στην οποία δρα μια περιοδική διεγείρουσα δύναμη της μορφής F = F₀ ημωt, η δύναμη επαναφοράς –Dx και η δύναμη της αντίστασης –bυ. Ο 2ος νόμος έχει την μορφή:

ΣF = ma -Dx-bυ+F₀ ημωt = ma ma+bυ+Dx= F₀ ημωt

Όμως η ταχύτητα είναι η πρώτη παράγωγος της θέσης ως προς το χρόνο :

υ = και η επιτάχυνση η δεύτερη :

a = οπότε η παραπάνω εξίσωση γράφεται :

m+b+Dx= F₀ ημωt

Η εξίσωση αυτή είναι μια γραμμική μη ομογενής διαφορική εξίσωση της οποίας η επίλυση ξεφεύγει από τα πλαίσια της παρούσας ανάρτησης. Παραθέτω τη λύση που είναι η εξίσωση της απομάκρυνσης στην μόνιμη κατάσταση που έχει τη γνωστή μορφή :

x = A ημ(ωt+φ₀) (1)

όπου η φ₀ δίνεται από τη σχέση :

εφφ₀ = – (2)

το πλάτος Α δίνεται από τη σχέση:

Α = (3)

από την οποία όντως επιβεβαιώνουμε ότι το πλάτος απειρίζεται για b = 0 (μηδενικές απώλειες) και ω = ω₀ , ενώ παραμένει σταθερό για b=0 και

ωω₀ .

Ας εξετάσουμε λοιπόν τώρα τι συμβαίνει ενεργειακά όταν b=0 και

ωω₀, υπολογίζοντας την ενέργεια που προσφέρει ο διεγέρτης ανά περίοδο Τ.

Αν στη σχέση (2) θέσουμε όπου b=0 παίρνουμε φ₀ = 0, οπότε η εξίσωση της ταχύτητας γράφεται υ = Α ω συνωt.

Για την προσφερόμενη ενέργεια από τον διεγέρτη ισχύει:

dW_προσφ. = F dx = F = F υ

= F₀ ημωt Aω συνωt = ημ2ωt

Άρα σε μια περίοδο η προσφερόμενη ενέργεια είναι:

W_προσφ= = – = – (συν4π-συν0) =0

Το παραπάνω αποτέλεσμα θα μπορούσαμε να το ερμηνεύσουμε ως εξής:

Η διαφορά φάσης ανάμεσα στη δύναμη του διεγέρτη F = F₀ ημωt και την ταχύτητα υ = Α ω συνωt είναι π/2 αφού συνωt = ημ(ωt+π/2). Αυτό σημαίνει ότι στη χρονική διάρκεια μιας περιόδου, για την μισή περίοδο τα διανύσματά τους είναι ομόρροπα και για την υπόλοιπη μισή είναι αντίρροπα. Άρα για την μισή περίοδο ο διεγέρτης προσφέρει ενέργεια στο σύστημα και για την υπόλοιπη το σύστημα του την επιστρέφει! Έτσι το πλάτος διατηρείται σταθερό μια που το σύστημα δεν κερδίζει ούτε χάνει ενέργεια.

Ας αφήσουμε τώρα την εξιδανίκευση όπου b=0 για να αναλύσουμε τι σημαίνει ότι “κατά το συντονισμό η ενέργεια μεταφέρεται στο σύστημα κατά το βέλτιστο τρόπο”

Κατ’ αρχήν ας κάνουμε την εξής διευκρίνηση : Όταν ω = ω₀ έχουμε συντονισμό ενέργειας και όχι πλάτους. Αυτό σημαίνει ότι η μέγιστη δυναμική ενέργεια U_max που ισούται με

DA² = mω₀² Α²ταυτίζεται με την μέγιστη κινητική Κ_max που ισούται με

m υ_max² = m A² ω ₀ ² (όταν ωω₀ τότε

U_max = DA² = mω₀² Α² m υ_max² = m A² ω²

=K_{max .}Είναι μάλιστα προφανές ότι U_max K_maxόταν ω ω₀ και U_max K_maxόταν ω ω₀)

Άρα λοιπόν η παραπάνω πρόταση διατυπώνεται καλύτερα ως εξής : “κατά το συντονισμό ενέργειας η ενέργεια μεταφέρεται στο σύστημα κατά το βέλτιστο τρόπο”. Ας δούμε γιατί.

Όταν ω=ω₀ η σχέση (2) δίνει φ₀ = 3π/2, οπότε η εξίσωση της ταχύτητας γίνεται υ = Αω₀ συν(ω₀ t + 3π/2 ) = Aω₀ημω₀ t . Αυτό σημαίνει ότι η δύναμη του διεγέρτη και η ταχύτητα είναι μεγέθη συμφασικά άρα τα διανύσματά τους είναι διαρκώς ομόρροπα. Επομένως η δύναμη της αντίστασης –bυ είναι διαρκώς αντίρροπη με τη δύναμη του διεγέρτη με αποτέλεσμα οι απώλειες να αντισταθμίζονται στιγμιαία. Ή για να το διατυπώσουμε διαφορετικά ο στιγμιαίος ρυθμός παροχής ενέργειας από το διεγέρτη είναι ίσος με το στιγμιαίο ρυθμό απώλειας ενέργειας μέσω της αντίστασης όπως αποδεικνύεται και μαθηματικά ως εξής:

= F υ