Η φυσική της μουσικης

H Φυσική της μουσικής μέρος δεύτερο : Οι ηχητικοί σωλήνες

Διάφανος, διάφανος κυλάω
μέσα σε τούτο το ρυθμό
τις πίκρες μου ξορκίζοντας πετάω
φυσώντας τον πλαγίαυλο.

(Διάφανος. Στίχοι : Γ. Φιλιπάκης. Μουσική :Χάνομαι γιατί ρεμβάζω. Ερμηνευτής :Χ. Τσιαμούλης)

Παρά τις επιφυλάξεις που είχα διατυπώσει στον πρόλογο του Α’ μέρους για τη χρήση των μαθηματικών, οι αναγνώστες της ανάρτησης ξεπέρασαν τελικά σε πλήθος των αριθμό των φίλων μου, γι αυτό και τολμώ να σας παρουσιάσω και το  Β’ μέρος που αφορά τα πνευστά. Έτσι δε θα μείνει και αναπάντητο το ερώτημα που τέθηκε στον επίλογο. Σας εύχομαι καλή ανάγνωση.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ : ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΗΧΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

Είχαμε δει ότι αρμονικά είναι τα πιο απλά κύματα που δημιουργούνται από μια πηγή, σε κάποιο ελαστικό μέσο διάδοσης. Ένα τέτοιο μέσο μπορεί να είναι και ο αέρας. Στο Σχήμα 1 φαίνεται ένας μεγάλος στενός σωλήνας που είναι γεμάτος με συμπιεστό αέριο. Στο αριστερό του άκρο υπάρχει ένα παλλόμενο έμβολο το οποίο παλινδρομεί ταλαντευόμενο με απλή αρμονική κίνηση και τότε  η διαταραχή η οποία δημιουργεί είναι αρμονική. Το έμβολο είναι η πηγή του κύματος και το κύμα το οποίο παράγει λέγεται διάμηκες κύμα το οποίο, αν έχει την κατάλληλη συχνότητα, μπορούμε να πούμε ότι είναι ένα ηχητικό κύμα. Οι σκούρες περιοχές του Σχήματος 1 αντιστοιχούν στις περιοχές όπου το αέριο είναι συμπιεσμένο. Άρα εκεί η πυκνότητα και η πίεση έχουν υψηλότερες τιμές από τις τιμές που είχαν προτού διαταραχθεί το αέριο.

Κάθε φορά που το έμβολο πιέζει το αέριο του σωλήνα, δημιουργείται ένα στρώμα συμπιεσμένου αερίου. Το στρώμα αυτό ονομάζεται πύκνωμα και κινείται σαν παλμός κατά μήκος του σωλήνα, συμπιέζοντας με τη σειρά του το αέριο που βρίσκεται μπροστά του, δηλαδή ανάμεσα του και στην έξοδο του σωλήνα. Όταν όμως το έμβολο οπισθοδρομεί στον σωλήνα, το αέριο που βρίσκεται μπροστά του εκτονώνεται και η πίεση και η πυκνότητα του ελαττώνονται, ενώ οι τιμές τους πέφτουν κάτω από τις τιμές που είχαν προτού διαταραχθεί το αέριο (βλ. τις πιο υπόλευκες περιοχές του Σχήματος 1). Οι περιοχές αυτές χαμηλής πιέσεως ονομάζονται αραιώματα και κινούνται κατά μήκος του σωλήνα ακολουθώντας το αντίστοιχο προηγούμενο πύκνωμα. Τα αραιώματα καθώς και τα πυκνώματα διαδίδονται, δηλαδή κινούνται, κατά μήκος του σωλήνα, με μέτρο ταχύτητας που είναι το ίδιο με την ταχύτητα διάδοσης του ήχου στο μέσο αυτό (343 περίπου m/s στον αέρα στους 200C ).

Καθώς το έμβολο παλινδρομεί αρμονικά, δημιουργεί συνεχώς πυκνώματα και αραιώματα. Η απόσταση που χωρίζει δύο διαδοχικά πυκνώματα (ή δύο διαδοχικά αραιώματα) ισούται με ένα μήκος κύματος, λ. Καθώς λοιπόν οι περιοχές αυτές κινούνται κατά μήκος του σωλήνα, όλα τα μέρη που συναποτελούν το μέσο ταλαντώνονται με απλή αρμονική κίνηση, η οποία είναι παράλληλη προς την διεύθυνση διάδοσης του κύματος.

image

Σχήμα 1. Αρμονικό διάμηκες κύμα το οποίο διαδίδεται σε σωλήνα γεμάτο με συμπιεστό αέριο. Πηγή που δημιουργεί το κύμα είναι το παλλόμενο έμβολο στα αριστερά. Οι σκοτεινές περιοχές αντιστοιχούν σε υψηλές πιέσεις, ενώ οι ανοιχτόχρωμες σε χαμηλές πιέσεις.

Στο βίντεο που ακολουθεί παρουσιάζονται τα διαμήκη κύματα στη χρονική διάρκεια από 1:24 έως 2:02

Αν συμβολίσουμε με s(x,t) την μετατόπιση ενός στοιχείου όγκου του μέσου διάδοσης του κύματος από τη θέση ισορροπίας του, τότε η σχέση που περιγράφει την αρμονική μεταβολή της είναι:

  s(x,t) = sm συν (kx – ωt)

όπου sm είναι το πλάτος της ταλάντωσης, k = 2π/λ είναι ο κυματαριθμός και ω = 2π/Τ είναι η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης του εμβόλου. Η μεταβολή της πίεσης ΔP του αερίου είναι επίσης αρμονική και περιγράφεται από τη σχέση:

ΔP = ΔPm ημ (kx – ωt)

όπου ΔPείναι το πλάτος της πίεσης δηλαδή η μέγιστη μεταβολή της από την τιμή ισορροπίας.

Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η καμπύλη  της μετατόπισης (α) και της μεταβολής της πίεσης (β) σε συνάρτηση με τη θέση.

image

Να σημειώσουμε ότι ανάμεσα στην μετατόπιση και την μεταβολή της πίεσης υπάρχει διαφορά φάσης π/2.

Ο ΤΡΟΠΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΗΧΟΥ ΣΤΑ ΑΕΡΟΦΩΝΑ.

Με τον όρο αερόφωνα εννοούμε όλα τα μουσικά όργανα στα οποία για την παραγωγή του χρησιμοποιείται ο αέρας με ταλάντωση είτε μιας καθορισμένης στήλης του μέσα σε ένα ηχητικό σωλήνα (βλέπε παρακάτω) είτε μιας ελεύθερης ροής του (όπως συμβαίνει στη φυσαρμόνικα). Η συστηματική κατάταξη των αεροφώνων (βλέπε επόμενο πίνακα) τα διακρίνει ανάλογα με τον τρόπο παραγωγής του ήχου, σε αυτά στα οποία ο ήχος παράγεται με τα χείλη (τύπου τρομπέτας), με πρόσπτωση σε μια κόγχη (φλάουτα, φλογέρες), με ταλάντωση καλαμένιας γλωσσίδας (κλαρινέτα, όμποε), με ταλάντωση μεταλλικής γλωσσίδας (ακορντεόν, φυσαρμόνικες).

image

O νόμος του Μπερνούλι, η αρπαγή των στεγών και ο τρόπος λειτουργίας της γλωσσίδας του όμποε και του κλαρινέτου!

Σύμφωνα με το νόμο του Μπερνούλι κατά τη ροή του αέρα, η πίεση είναι μικρή στα σημεία όπου η ταχύτητα είναι μεγάλη, και αντίστροφα είναι μεγάλη σε σημεία όπου η ταχύτητα είναι μικρή . Έτσι εξηγείται η αρπαγή των στεγών από τους δυνατούς ανέμους. Όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, πάνω από τη στέγη έχουμε μεγάλη ταχύτητα του αέρα, επομένως υποπίεση. Στο εσωτερικό του σπιτιού ο αέρας είναι ακίνητος και η πίεση ισούται με την ατμοσφαιρική. Η μεγάλη διαφορά της πίεσης ανάμεσα στο εσωτερικό και το εξωτερικό του σπιτιού, δημιουργεί συνισταμένη δύναμη με φορά προς τα πάνω η οποία σηκώνει τη στέγη.

image

Καταρχήν θα περιγράψουμε την διπλή γλωσσίδα του όμποε, η περιγραφή της οποίας  μπορεί  να εξηγήσει τον τρόπο λειτουργίας της διπλής γλωσσίδας οποιουδήποτε πνευστού. Στην εικόνα που ακολουθεί βλέπουμε την γλωσσίδα του όμποε. Όπως φαίνεται, η γλωσσίδα έχει δύο φύλλα. Προτού παίξει το όμποε, ο μουσικός πρέπει να υγράνει καλά την γλωσσίδα για να αυξήσει την ελαστικότητα της. Η υγρή γλωσσίδα συμπεριφέρεται σαν ελατήριο μικρής σταθεράς επαναφοράς.

Η παραγωγή ήχου αρχίζει από τη στιγμή που ο μουσικός θα βάλει το επιστόμιο στο στόμα του και φυσήξει, ώστε να περάσει αέρας ανάμεσα στα δύο φύλλα της γλωσσίδας. Τότε, ο αέρας ανάμεσα στα δύο φύλλα, ενώ αρχικά ηρεμούσε, αποκτά ταχύτητα προκαλώντας – σύμφωνα με το νόμο του Μπερνούλι –  ελάττωση της πίεσης μέσα στη γλωσσίδα. Η πίεση του αέρα όμως στο στόμα του μουσικού είναι ίση ή λίγο μεγαλύτερη από την πίεση του περιβάλλοντος. Έτσι λοιπόν η διαφορά πίεσης ανάμεσα στο εσωτερικό και το εξωτερικό της γλωσσίδας υποχρεώνει τα φύλλα να κλείσουν, σταματώντας την ροή του αέρα δια μέσου της γλωσσίδας. Όταν όμως διακοπεί η ροή του αέρα μέσα από την γλωσσίδα, η ταχύτητα της ροής του μηδενίζεται και επομένως η πίεση του αέρα μέσα στην γλωσσίδα ξαναπαίρνει την αρχική της τιμή. Όταν λοιπόν αποκατασταθεί αεροστατική ισορροπία, η γλωσσίδα. σαν ελατήριο, επανέρχεται στη θέση ισορρο­πίας της, που είναι η ανοιχτή θέση και έτσι επαναλαμβάνεται ο περιγραφείς κύκλος κ.ο.κ.

Τα γοργά ανοιγοκλεισίματα των φύλλων της γλωσσίδας δημιουργούν διαδοχικά πυκνώματα ή αραιώματα του αέρα, δηλαδή ηχητικά κύματα τα οποία διαδίδονται μέσα στον σωλήνα του σώματος του όμποε.

Αντίστοιχος είναι και ο τρόπος παραγωγής ήχου στο κλαρινέτο και στο σαξόφωνο με τη διαφορά ότι η γλωσσίδα είναι κατασκευασμένη με μονό καλάμι, το οποίο διακόπτει περιοδικά τη ροή του αέρα που κινείται μέσα σε ένας ραμφοειδές επιστόμιο, όπως φαίνεται στις παρακάτω εικόνες.

image

Στα χάλκινα πνευστά τύπου τρομπέτας το ρόλο της καλαμένιας γλωσσίδας τον παίζουν τα τεντωμένα χείλια του εκτελεστή που διακόπτουν περιοδικά τη ροή του αέρα της εκπνοής καθώς αυτός φυσάει μέσα σε κάποιο κοίλο ή κωνικό επιστόμιο.

Τελείως διαφορετικός είναι ο τρόπος παραγωγής του ήχου στους αυλούς είτε αυτοί διαθέτουν επιστόμιο είτε όχι.

Το αντηχείο Helmholtz,  ο ακουστικός συντονισμός και η παραγωγή του φθόγγου τομής (edge tone).

Μεταλλικό, σφαιρικό αντηχείο Helmholtz, με βάση την αρχική σχεδίαση του 1890-1900.

Το αντηχείο Helmholtz, όπως φαίνεται στην παραπάνω εικόνα, αποτελείται από δύο βασικά μέρη: ένα λεπτό σωλήνα ανοικτό και από τα δύο άκρα και έναν θάλαμο μεγαλύτερου όγκου. Η μεταβολή της πίεσης του αέρα στο εξωτερικό άκρο του σωλήνα προκαλεί την κίνηση του αέρα μέσα στο αντηχείο. Ας υποθέσουμε ότι μια ποσότητα αέρα εισρέει στο θάλαμο. Το αποτέλεσμα είναι να αυξηθεί η πίεση στο εσωτερικό του, οπότε εμποδίζεται η εισροή περισσότερου αέρα σε αυτόν. Αντιστοίχως, η εκροή αέρα από το θάλαμο προκαλεί μείωση της πίεσης στο εσωτερικό του, γεγονός που εμποδίζει την εκροή κι άλλου αέρα. Μπορούμε λοιπόν να θεωρήσουμε ότι ο αέρας στο εσωτερικό του θαλάμου λειτουργεί σαν ένα κατακόρυφο ελατήριο και ότι ο αέρας που υπάρχει μέσα στο σωλήνα παίζει το ρόλο μιας μάζας που είναι προσαρμοσμένη στην κορυφή του ελατηρίου όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.Πρόκειται δηλαδή για το μοντέλο ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή. Να σημειώσουμε εδώ ότι η αναλογία αυτή δεν ισχύει πάντοτε, αλλά μόνο όταν η ταχύτητα των σωματιδίων του αέρα είναι κατά προσέγγιση ίδια σε όλο το μήκος του σωλήνα. Αυτό συμβαίνει σε αρκετά χαμηλές συχνότητες, όταν το μήκος κύματος του ήχου στον αέρα είναι πολύ μεγάλο σε σχέση με τις διαστάσεις του αντηχείου. Διαφορετικά το μοντέλο που περιγράφει τις ταλαντώσεις του αέρα μέσα στο αντηχείο τροποποιείται και θα πρέπει να μιλάμε για πολλούς αρμονικούς ταλαντωτές.

image

Γνωρίζουμε ότι η ιδιοσυχνότητα ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση:

f0 = clip_image002 clip_image004

όπου k είναι η σταθερά του ελατηρίου και m η μάζα του προσαρτημένου σώματος. Κατά αντιστοιχία η ιδιοσυχνότητα του αντηχείου Helmholtz που το μήκος του σωλήνα είναι πολύ μεγαλύτερο από τη διάμετρό του δίνεται από τη σχέση :

f0 = clip_image002[4] clip_image004[4]

όπου είναι υ η ταχύτητα του ήχου στον αέρα, S είναι το εμβαδόν της διατομής του σωλήνα, V είναι ο όγκος του θαλάμου και είναι το μήκος του σωλήνα.

Όταν φυσάμε προς το στόμιο του σωλήνα τότε η αλληλεπίδραση του αέρα με αυτό δημιουργεί περιοδικές μεταβολές στην πίεση που η συχνότητά τους δίνεται από τη σχέση:

fk = kclip_image002[6]

όπου υ είναι η ταχύτητα ροής του αέρα, d είναι το πάχος του στομίου και k είναι ένας αδιάστατος συντελεστής που εξαρτάται από το σχήμα και τον προσανατολισμό του αντικειμένου. Η τιμή του προσδιορίζεται συνήθως πειραματικά, αλλά είναι δυνατό να γίνουν και θεωρητικές προβλέψεις. Ακουστικό συντονισμό έχουμε όταν:

f0 = fk

Για περισσότερες λεπτομέρειες πάνω στο θέμα πιέστε εδώ

Ο τρόπος παραγωγής του φθόγγου τομής (edge tone).

Α. Ταλαντώσεις του αέρα από σχισμές.

Όταν ο αέρας ωθείται μέσω ενός ανοίγματος ή μιας σχισμής, το ρεύμα αέρα κινείται γρήγορα δια μέσου του αργότερου αέρα. Η άκρη του ρεύματος συναντά αντίσταση από τον πιο αργό αέρα με αποτέλεσμα να κινηθεί κυκλικά προς τα πίσω δημιουργώντας στροβίλους (“στροβιλώδη ροή”), όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Αυτοί οι στρόβιλοι αλληλεπιδρούν με το ρεύμα αέρα, ασκώντας μια πλάγια επίδραση αναγκάζοντάς το έτσι να κινηθεί κυματιστά. Αυτός ο κυματισμός μπορεί να παράγει αρκετά ισχυρό ήχο όπως όταν σφυρίζουμε.

image

Β. Η παραγωγή αιολικού ήχου (aeolian tone)

Όταν ο αέρας περνάει πάνω από ένα αντικείμενο ή μέσω αυτού, η ροή του πίσω από αυτό δεν είναι ομαλή. Παρουσιάζει τους λεγόμενους στροβίλους, οποίοι εγκαταλείπουν ο ένας μετά τον άλλον το αντικείμενο με τέτοιο τρόπο ώστε να παρέρχεται ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα ανάμεσα στο σχηματισμό των διαδοχικών στροβίλων, όπως φαίνεται στην παρακάτω προσομοίωση.

 

Η πίεση του αέρα μέσα σε ένα στρόβιλο είναι μικρότερη από ότι στις γύρω αδιατάρακτες περιοχές (γι αυτό και οι ανεμοστρόβιλοι ενεργούν σαν τεράστιες σκούπες, που ρουφούν ότι βρίσκουν στο πέρασμά τους). Έτσι η πίεση στο χώρο πίσω από το αντικείμενο αυξομειώνεται κατά το χρονικό διάστημα που παρέρχεται μεταξύ των διαδοχικών στροβίλων. Αν το αντικείμενο είναι συμμετρικό, η μεταβολή στη συνολική πίεση του αέρα πίσω του μεταβάλλεται αρμονικά με το χρόνο με συχνότητα που δίνεται από μια αντίστοιχη σχέση με αυτή που είδαμε πιο πάνω :

faeolian = kclip_image002[1]

όπου υ είναι η ταχύτητα ροής του αέρα, α είναι το ενεργό μέγεθος του αντικειμένου και k είναι ο αδιάστατος συντελεστής που όπως έχουμε είδη πει εξαρτάται από το σχήμα και τον προσανατολισμό του αντικειμένου και τιμή του προσδιορίζεται συνήθως πειραματικά, αλλά είναι δυνατό να γίνουν και θεωρητικές προβλέψεις. Να σημειώσουμε ότι ο ήχος αυτός είναι ανάλογος με αυτόν που παράγεται από τα τεντωμένα καλώδια όταν φυσάει αέρας.

Γ. Συνδυάζοντας μια σχισμή με μια κόγχη (edge) για να παράγουμε το φθόγγο τομής (edge tone).

Ας υποθέσουμε ότι οι κυματισμοί που παράγονται από μια σχισμή κατευθύνονται προς μια κόγχη, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

image

Οι κυματισμοί αυτοί ταξιδεύουν με ταχύτητα 0,4vj , όπου vj είναι η ταχύτητα ροής του αέρα, και αναγκάζουν το ρεύμα αέρα να βυθιστεί κάτω από την κόγχη. Η αλληλεπίδραση με αυτήν προκαλεί αύξηση της πίεσης στην περιοχή κάτω από την κόγχη, η οποία ανατροφοδοτείται και αυξάνει την πίεση στην περιοχή κάτω από τη σχισμή τείνοντας να αναγκάσει το ρεύμα αέρα να κινηθεί προς τα πάνω, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

image

Όταν αυτή η προς τα πάνω εκτροπή φτάσει στην κόγχη, η ανατροφοδότησή της θα αναγκάσει το ρεύμα αέρα στη σχισμή να κατευθυνθεί πάλι προς τα κάτω και έτσι η διαδικασία επαναλαμβάνεται. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα το περιοδικό “ανεβοκατέβασμα” του αέρα από την μια μεριά στην άλλη, οπότε παράγεται ο ήχος τομής. Εξαιτίας του μηχανισμού της ανατροφοδότησης, η συχνότητα του ήχου δεν επηρεάζεται άμεσα από την ενεργό διάμετρο της κόγχης όπως συμβαίνει στον αιολικό ήχο. Εδώ τον σημαντικό ρόλο τον παίζει η απόσταση οπής – κόγχης, η οποία ισούται με μισό μήκος κύματος.

image

Έτσι η συχνότητα του ήχου τομής δίνεται από τη σχέση :

f = clip_image002[3] = clip_image004[1] = clip_image006

Σύμφωνα με την παραπάνω σχέση, αν θέλουμε να αυξήσουμε την συχνότητα μπορούμε είτε να αυξήσουμε την ταχύτητα ροής του αέρα είτε  να μικρύνουμε την απόσταση d ανάμεσα στη σχισμή και την κόγχη. Γι αυτό οι φλαουτίστες όταν θέλουν να παίξουν ψηλές νότες έχουν διδαχτεί να αυξάνουν την πίεση του φυσήματος μειώνοντας την οπή των χειλιών(αυξάνοντας έτσι τη vj) , φέρνοντάς τα ταυτόχρονα πλησιέστερα προς την κόγχη (μειώνοντας έτσι την απόσταση d).

Ανεξάρτητα από τον τρόπο παραγωγής του ήχου, είτε αυτός γίνεται με γλωσσίδα είτε με πρόσπτωση σε κόγχη, για να μετατραπεί σε μελωδία πρέπει κατά κάποιο τρόπο να φιλτραριστεί περνώντας από το σώμα του οργάνου τον ηχητικό σωλήνα.

ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΕ ΑΕΡΙΕΣ ΣΤΗΛΕΣ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΟΙ ΗΧΗΤΙΚΟΙ ΣΩΛΗΝΕΣ

Τα διαμήκη κύματα, όπως τα εγκάρσια, μπορούν να παραγάγουν στάσιμα κύματα. Έτσι, διαμήκη κύματα που διαδίδονται σε αντίθετες κατευ­θύνσεις συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμα κύματα, όπως συμβαίνει με τα διαμήκη κύματα μιας αέριας στήλης,  του σωλήνα ενός πνευστού οργάνου. Η διαφορά φάσης ανάμεσα στο προσπίπτον και στο ανακλώμενο κύμα από το άκρο του σωλήνα εξαρτάται από το αν αυτό το άκρο είναι ανοιχτό ή κλειστό. Η περίπτωση είναι ανάλογη προς τις σχετικές φάσεις μεταξύ του προσπίπτοντος και του ανακλώμενου κύματος σε ένα νήμα (δες το επόμενο βίντεο από 0:00 έως 1:22). Το κλειστό άκρο μιας στήλης αέρα είναι δεσμός μετατόπισης, όπως δεσμός μετατόπισης είναι το στερεωμένο άκρο ενός νήματος. Επομένως, το κύμα που ανακλάται από το κλειστό άκρο μιας στήλης αέρα έχει διαφορά φάσης π με το πρόσπιπτον κύμα. Ξέρουμε ότι η κυματική διαταραχή πίεσης έχει διαφορά φάσης π/2 από την κυματική διαταραχή της μετατόπισης (βλ. εισαγωγή: αρμονικά ηχητικά κύματα). Επομένως, στο κλειστό άκρο μιας στήλης αέρα έχουμε αντιδεσμό πίεσης (δηλαδή, η κυματική διαταραχή της πίεσης είναι μέγιστη).

Εάν όμως το άκρο της στήλης είναι ανοιχτό (και επομένως επικοινωνεί ελεύθερα με την ατμόσφαιρα), τα μόρια του αέρα της στήλης είναι ελεύθερα να κινηθούν. Όταν λοιπόν η διάμετρος της στήλης είναι μικρή σε σύγκριση με το μήκος κύματος, το ανακλώμενο κύμα βρίσκεται σχεδόν σε φάση με το προσπίπτον. Λέμε λοιπόν ότι το ανοιχτό άκρο μιας στήλης αέρα είναι, προσεγγιστικά, αντιδεσμός της μετατόπισης και δεσμός της πίεσης.

Για να ακριβολογούμε, όμως, το ανοιχτό άκρο της στήλης δεν είναι ακριβώς αντιδεσμός μετατόπισης. Και τούτο διότι ένα πύκνωμα δεν εκτονώ­νεται αμέσως μόλις φτάσει στο ανοικτό άκρο του σωλήνα, αλλά πρέπει να βγει έξω κατά 60% περίπου της ακτίνας του σωλήνα. Βλέπουμε λοιπόν ότι με τον τρόπο αυτό ο σωλήνας, για την ακουστική, έχει στην πράξη ισοδύναμο μήκος λίγο μεγαλύτερο από το κανονικό μήκος του L.

Στο παρακάτω σχήμα  βλέπουμε τις πρώτες τρεις ιδιόμορφες ταλάντωσης ενός ηχητικού σωλήνα που είναι ανοιχτός και στα δύο άκρα του. Εάν φυσήξουμε δια μέσου του ακροφυσίου, στα αριστερά, δημιουργούμε στάσιμα διαμήκη κύματα και ο σωλήνας συντονίζεται στις ιδιοσυχνότητές του. Όλες οι ιδιόμορφες ταλάντω­σης διεγείρονται (όχι όμως με το ίδιο πλάτος). Προσέξτε το σχήμα, όπου φαίνεται ότι τα δύο άκρα του σωλήνα είναι, σχεδόν, αντιδεσμοί μετατόπισης. Το μήκος κύματος της θεμελιώδους συχνότητας ισούται με το διπλάσιο του μήκους του σωλήνα. Έτσι, η θεμελιώδης συχνότητα είναι
f1  = υ/2L,. Οι υψηλότερες αρμονικές συχνότητες ισούνται με 2f1, 3f1,… . Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι :

Όταν ένα σωλήνας είναι ανοιχτός και στα δύο άκρα του, οι ιδιοσυχνότητες της ταλάντωσης αποτελούν αρμονική σειρά. Με άλλα λόγια, οι υψηλότερες αρμονικές συχνότητες είναι ακέραια πολλαπλάσια της θεμελιώδους συχνότητας.

Η εξίσωση που περιγράφει τις αρμονικές ιδιοσυχνότητες είναι λοιπόν :

fn = nclip_image002[1] (n = 1,2,3,…)

 οπού υ είναι το μέτρο ταχύτητας του ήχου στον αέρα.

image

Εάν όμως ο σωλήνας είναι ανοιχτός στο ένα άκρο και κλειστός στο άλλο, στο κλειστό άκρο έχουμε δεσμό μετατόπισης (βλ. παρακάτω σχήμα ). Στην περίπτωση αυτή το μήκος κύματος της θεμελιώδους συχνότητας είναι τετραπλάσιο του μήκους του σωλήνα. Επομένως, η θεμελιώδης συχνότητα είναι
f1 = υ/4L και οι υψηλότερες αρμονικές ισούνται με 3f1, 5f1,… Δηλαδή

Όταν μόνο το ένα άκρο ενός σωλήνα είναι κλειστό, παράγονται μόνον οι περιττές αρμονικές συχνότητες. Αυτές είναι ίσες προς :

fn = nclip_image002[3] (n = 1,3,5,…)

image

Στο βίντεο που ακολουθεί παρουσιάζονται τα στάσιμα κύματα σε ανοιχτό και κλειστό σωλήνα στη χρονική διάρκεια από 2:24 έως 3:03

Πώς ο μηχανισμός παραγωγής ήχου και ο ηχητικός σωλήνας λειτουργούν μαζί στο κλαρινέτο και στο φλάουτο.

Όπως είδαμε πιο πάνω ο ήχος στο κλαρινέτο παράγεται από τις δονήσεις μιας καλαμένιας γλωσσίδας, όταν ο μουσικός βάλει στο στόμα του το επιστόμιο και φυσήξει σε αυτό.  Οι ταλαντώσεις της γλωσσίδας όμως περιέχουν πολλές, ασυνάρτητες μεταξύ τους, συχνότητες, οι οποίες δεν είναι και πολύ ευχάριστες στο αφτί. Για να μετατραπεί ο αδρός αυτός ήχος που παράγει η γλωσσίδα σε μελωδία πρέπει να φιλτραριστεί. Πρέπει, δηλαδή, να εξουδετερωθεί το μεγαλύτερο μέρος της ηχητικής ενέργειας που παρήγαγε η γλωσσίδα και να παραμείνουν μόνο οι συχνότητες εκείνες που είναι ακέραια πολλαπλάσια μιας θεμελιώδους συχνότητας. Τον ρόλο του φίλτρου τον παίζει το σώμα του οργάνου.

Από την πληθώρα των συχνοτήτων που παρήγαγε η γλωσσίδα, εκείνες που παράγουν τη μελωδία είναι οι συχνότητες οι οποίες δημιουργούν στάσιμα κύματα μέσα στο σώμα του οργάνου. Οι άλλες συχνότητες υφίστανται καταστρεπτική συμβολή καθώς συμβάλλουν με τις ίδιες τους τις ανακλάσεις από τα δύο  άκρα του οργάνου. Με άλλα λόγια, το εσωτερικό του οργάνου παίζει τον ρόλο μιας συντονισμένης κοιλότητας κυμάτων.

Οι τιμές των συχνοτήτων που «επιλέγονται» από το όργανο για να δημιουργή­σουν στάσιμα κύματα εξαρτώνται από τη γεωμετρική κατασκευή του οργάνου. Το κλαρινέτο έχει λίγο-πολύ κυλινδρικό κορμό και συμπεριφέρεται σαν ένας σωλήνας αέρα που είναι κλειστός στο ένα άκρο (εκεί που είναι η γλωσσίδα) και ανοιχτός στο άλλο. Σύμφωνα λοιπόν με τα προαναφερθέντα, οι συχνότητες που διασώζονται  είναι περιττά πολλαπλάσια της θεμελιώδους. Στο παρακάτω σχήμα οι νότες είναι πολλαπλάσια της θεμελιώδους fo . Οι άρτιες αρμονικές βρίσκονται σε παρένθεση.

Για να ακούσετε τις νότες πιέστε  εδώ. Θα παρατηρήσετε ότι οι νότες είναι διαδοχικά πιο επίπεδες από τις αρμονικές συχνότητες. Αυτό οφείλεται στην επίδραση της καλαμένιας γλωσσίδας και της καμπάνας στο άκρο του κυλινδρικού σωλήνα.

Στο φλάουτο είδαμε ότι ο ήχος παράγεται με την ταλάντωση της ροής του αέρα η οποία γίνεται με μια ορισμένη συχνότητα. Αλλά, ειδικά όταν η δόνηση είναι μεγάλη, όπως συμβαίνει στο δυνατό παίξιμο, παράγονται αρμονικές. Για τις χαμηλές νότες αρκετές από τις πρώτες αρμονικές υποστηρίζονται από στάσιμα κύματα. Το φλάουτο συμπεριφέρεται σαν ανοιχτός σωλήνας και έτσι παράγεται όλη η σειρά των αρμονικών όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

music notation for harmonic series

Για να ακούσετε τις νότες πιέστε  εδώ. Ας σημειώσουμε ότι ο ήχος του φλάουτου είναι αρμονικός (ημιτονοειδής) όταν το όργανο παίζεται μαλακά αλλά γίνεται σταδιακά λιγότερο αρμονικός καθώς παίζεται δυνατότερα.

Παρακολουθήστε την επιτομή των όσων αναπτύξαμε παραπάνω στο βίντεο που ακολουθεί.

Κλείνουμε με την απάντηση του ερωτήματος που θέσαμε στο 1ο μέρος :

Το καλοκαίρι σε ένα κονσέρτο η ζέστη προκαλεί διαστολή στις χορδές με αποτέλεσμα να μειώνεται η δύναμη που τις τεντώνει, οπότε  μειώνεται η συχνότητα και ο ήχος των εγχόρδων ακούγεται πιο βαρύς. Τι συμβαίνει άραγε με τα πνευστά;

Η απάντηση προκύπτει από τις σχέσεις fn = nclip_image0021 και fn = nclip_image0023 . Οι συχνότητες συντονισμού είναι ανάλογες με την ταχύτητα του ήχου. Όταν ο αέρας του πνευστού οργάνου ζεσταίνεται η ταχύτητα του ήχου μέσα σε αυτό αυξάνει με αποτέλεσμα να αυξάνουν οι συχνότητες και ο ήχος να ακούγεται οξύτερος.

Ο αέρας βέβαια ζεσταίνεται και από το φύσημα του μουσικού. Ας κάνουμε λοιπόν και έναν υπολογισμό. Η εξάρτηση της ταχύτητας του ήχου στον αέρα από τη θερμοκρασία δίνεται από τη σχέση :

υ(θ) = 331,5 + 0,607 θ

όπου θ η θερμοκρασία σε βαθμούς Κελσίου και υ η ταχύτητα του ήχου στον αέρα σε m/s. Ας υποθέσουμε ότι για έναν ορισμένο συνδυασμό κλειδιών ένα κλαρινέτο έχει ενεργό μήκος 24,6cm. Στους 200C αυτό το μήκος δημιουργεί στάσιμα κύματα με συχνότητα 349,2 Hz. Σε ένα κονσέρτο όμως η θερμοκρασία μέσα στο σώμα του κλαρινέτου ανεβαίνει στους 270C . Θα υπολογίσουμε την % μεταβολή στη συχνότητα για τον συγκεκριμένο αριθμό κλειδιών.

Ξεκινάμε με τον υπολογισμό της ταχύτητας του ήχου στους 200C : υ(20) = 331,5 + 0,607 . 20 = 343,64m/s.

Αντικαθιστώντας την τιμή αυτή στη σχέση  fn = nclip_image0023  και θέτοντας όπου fn = 349,2 Hz και L = 0,246m  βρίσκουμε ότι n = 1. Πρόκειται δηλαδή για τη θεμελιώδη συχνότητα που αντιστοιχεί στο συγκεκριμένο ενεργό μήκος.

Συνεχίζουμε με τον υπολογισμό της ταχύτητας του ήχου στους 270C : υ(27) = 331,5 + 0,607 . 27 = 347,9m/s. Η τιμή αυτή της ταχύτητας για n  = 1 και L = 0,246m δίνει για τη συχνότητα τιμή f’ = 353,5Hz και μεταβολή 1,24% η οποία γίνεται αντιληπτή από τον ακροατή, αν λάβουμε υπόψη ότι η ελάχιστη αλλαγή που μπορεί να γίνει αντιληπτή είναι 1%.

Αναφορές :

Βιβλιογραφία:

Serway Physics for scientists & engineers τόμος ΙΙΙ

Jearl Walker Το πανηγύρι της Φυσικής

Ulrich Michels Άτλας της Μουσικής τόμος Ι

Roman Vinokur  Η υπόθεση του μυθικού τέρατος – Ο Σέρλοκ Χόλμς διαλευκαίνει “διαβολικό” μυστήριο,  άρθρο από το  Quantum Περιοδικό για τις Φυσικές επιστήμες και τα Μαθηματικά Μάιος/Ιούνιος 1995

Internet

HyperPhysics

University of New South Wales

Aeolian sound, from Wikipedia

the-clarinets.net

Bore (wind instruments), from Wikipedia

Από τη θεωρία στην πράξη: Ας απολαύσουμε ένα έργο για φλάουτο και ένα για κλαρινέτο.

Ακολουθεί το 3ο και τελευταίο μέρος : παραγωγή ήχου με μεμβράνες. (θα αναρτηθεί σύντομα).

Advertisements
Κλασσικό

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s