Φυσική και τέχνη

Van Gogh painted perfect turbulence

The disturbed artist intuited the deep forms of fluid flow.

Philip Ball

Republished from nature.com

Vincent van Gogh is known for his chaotic paintings and similarly tumultuous state of mind. Now a mathematical analysis of his works reveals that the stormy patterns in many of his paintings are uncannily like real turbulence, as seen in swirling water or the air from a jet engine.

Physicist Jose Luis Aragon of the National Autonomous University of Mexico in Queretaro and his co-workers have found that the Dutch artist’s works have a pattern of light and dark that closely follows the deep mathematical structure of turbulent flow1.

The swirling skies of The Starry Night, painted in 1889, Road with Cypress and Star (1890) and Wheat Field with Crows(1890) — one of the van Gogh’s last pictures before he shot himself at the age of 37 — all contain the characteristic statistical imprint of turbulence, say the researchers.

These works were created when van Gogh was mentally unstable: the artist is known to have experienced psychotic episodes in which he had hallucinations, minor fits and lapses of consciousness, perhaps indicating epilepsy.

«We think that van Gogh had a unique ability to depict turbulence in periods of prolonged psychotic agitation,» says Aragon.

In contrast, the Self-portrait with Pipe and Bandaged Ear (1888) shows no such signs of turbulence. Van Gogh said that he painted this image in a state of «absolute calm», having been prescribed the drug potassium bromide following his famous self-mutilation.

Measured chaos

Scientists have struggled for centuries to describe turbulent flow — some are said to have considered the problem harder than quantum mechanics. It is still unsolved, but one of the foundations of the modern theory of turbulence was laid by the Soviet scientist Andrei Kolmogorov in the 1940s.

He predicted a particular mathematical relationship between the fluctuations in a flow’s speed and the rate at which it dissipates energy as friction. Kolmogorov’s work led to equations describing the probability of finding a particular velocity difference between any two points in the fluid. These relationships are called Kolmogorov scaling.

Aragón and colleagues looked at van Gogh’s paintings to see whether they bear the fingerprint of turbulence that Kolmogorov identified. «‘Turbulent’ is the main adjective used to describe van Gogh’s work,» says Aragn. «We tried to quantify this.»

Darkness and light

The researchers took digital images of the paintings and calculated the probability that two pixels a certain distance apart would have the same brightness, or luminance. «The eye is more sensitive to luminance changes than to colour changes,» they say, «and most of the information in a scene is contained in its luminance.»

Several of van Gogh’s works show Kolmogorov scaling in their luminance probability distributions. To the eye, this pattern can be seen as eddies of different sizes, including both large swirls and tiny eddies created by the brushwork.

Van Gogh seems to be the only painter able to render turbulence with such mathematical precision. «We have examined other apparently turbulent paintings of several artists and find no evidence of Kolmogorov scaling,» says Aragon.

Edvard Munch’s The Scream, for example, looks to be superficially full of van Gogh-like swirls, and was painted by a similarly tumultuous artist, but the luminance probability distribution doesn’t fit Kolmogorov’s theory.

The distinctive styles of other artists can be described by mathematical formulae. Jackson Pollock’s drip paintings, for example, bear distinct fractal patterns.

Γ΄ Λυκειου

Οι εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, το σχολικό βιβλίο και μια εύλογη απορία.

Η φυσική είναι μια επιστήμη άρρηκτα συνδεδεμένη με τα μαθηματικά. Η πλήρης περιγραφή και κατανόηση ενός φαινομένου απαιτεί πολλές φορές τη χρήση περίπλοκων μαθηματικών. Ένα τέτοιο φαινόμενο είναι και οι εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, των οποίων η ποιοτική περιγραφή και ανάλυση στα πλαίσια ενός σχολικού εγχειριδίου δεν μπορεί παρά να είναι ελλιπής και να αφήνει κενά. Γι αυτό ίσως να μην υπάρχει και για τους μαθητές κανένα παιδαγωγικό όφελος, αλλά αυτό είναι ένα  θέμα που αφορά όλους εκείνους τους «σοφούς» που καταρτίζουν τα αναλυτικά προγράμματα.

Γ΄ Λυκειου

Επιτέλους τι είναι αυτή η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης;

Γνωρίζουμε ότι ένα παραμορφωμένο ελατήριο έχει ελαστική δυναμική ενέργεια clip_image002 όπου κ η σταθερά του ελατηρίου και Δclip_image002[10] η παραμόρφωση του ελατηρίου, η απόσταση δηλαδή του παραμορφωμένου άκρου του από το φυσικό του μήκος (Φ.Μ.). Στην Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ.)ενός συστήματος μάζας – οριζόντιου ελατηρίου, η θέση ισορροπίας (Θ.Ι.) ταυτίζεται με το φυσικό μήκος με αποτέλεσμα η απομάκρυνση χ να ταυτίζεται με την παραμόρφωση Δclip_image002[12], οπότε η ελαστική δυναμική ενέργεια γράφεται Uελ =clip_image002[8]Μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι για την περίπτωση του οριζόντιου ελατηρίου, η σχέση clip_image002[8]την οποία αποκαλούμε  δυναμική ενέργεια ταλάντωσης U είναι ουσιαστικά η ελαστική δυναμική ενέργεια Uελ . Έτσι  γράψουμε:

U =clip_image002[14]

Τι γίνεται όμως στην περίπτωση του κατακόρυφου ελατηρίου, όπου η Θ.Ι. δεν ταυτίζεται με το Φ.Μ., οπότε και η παραμόρφωση Δclip_image002[16] δεν ταυτίζεται με την απομάκρυνση χ; Ας  εξετάσουμε το ερώτημα αναλυτικά:


Στο σχήμα φαίνεται ένα σύστημα μάζας – κατακόρυφου ελατηρίου στο οποίο το φυσικό μήκος βρίσκεται σε ύψος h από το έδαφος. Καθώς το σύστημα ταλαντώνεται εμφανίζονται δυο μορφές δυναμικής ενέργειας : η ελαστική δυναμική ενέργεια Uελ εξ αιτίας της παραμόρφωσης του ελατηρίου και η βαρυτική δυναμική ενέργεια UB ως προς το επίπεδο του εδάφους. Το σύστημα λοιπόν έχει ολική δυναμική ενέργεια Uολ :

Uολ = UΒ + Uελ

Σύμφωνα με το σχήμα, στη Θ.Ι. της ταλάντωσης η ολική δυναμική ενέργεια Uο ισούται με:

Uo = mg (h – Δℓ) + clip_image002[18]= σταθ. (1)

Στην Τ.Θ. κάτω από τη Θ.Ι. της ταλάντωσης η ολική δυναμική ενέργεια Uολ’  ισούται με:

Uολ= mg (h – Δℓ – χ) + clip_image002[20]  (2)

Στην Τ.Θ. πάνω από τη Θ.Ι. της ταλάντωσης η ολική δυναμική ενέργεια Uολ’’  ισούται με:

Uολ’’ = mg [h –( Δℓ – χ)] + clip_image002[22]  (3)

Η μεταβολή στην ολική δυναμική ενέργεια ΔU = Uολ’ – Uo ισούται με :

ΔU = mg (h – Δℓ – χ) + clip_image002[24]– mg (h – Δℓ) + clip_image004clip_image006

ΔU = mg h – mgΔℓ – mgχ + clip_image008+ κ Δℓ x – mg h + mg Δℓ – clip_image004[1]clip_image006[1]

ΔU = – mgχ + clip_image010+ κ Δℓ x  (4)

Όμως από τη συνθήκη ισορροπίας στη Θ.Ι της ταλάντωσης έχουμε:

ΣF = 0 clip_image002[26] mg = κ Δclip_image004[6] clip_image002[27] mgx = κ Δclip_image004[7] x  (5)

Απο (4) και (5) καταλήγουμε στη σχέση:

ΔU =  clip_image010

Η μεταβολή στην ολική δυναμική ενέργεια ΔU = Uολ’’ – Uo ισούται με :

ΔU = mg [h – (Δℓ – χ)] + clip_image002[30]– mg (h – Δℓ) + clip_image004[10]clip_image006[6]

ΔU = mg h – mgΔℓ -+mgχ + clip_image008[4]-κ Δℓ x – mg h + mg Δℓ – clip_image004[11]clip_image006[7]

ΔU = +mgχ + clip_image010[7]-κ Δℓ x clip_image012

ΔU =  clip_image010

Η σχέση λοιπόν   clip_image010 , όπου χ η απομάκρυνση από τη Θ.Ι. της ταλάντωσης, εκφράζει την  μεταβολή στην ολική δυναμική ενέργεια ΔU, από τη Θ.Ι. της ταλάντωσης σε μια τυχαία θέση και της δώσαμε το όνομα δυναμική ενέργεια ταλάντωσης. Ουσιαστικά με τη σχέση αυτή περιγράφουμε ενεργειακά πιο απλά την Α.Α.Τ. σε όλες τις περιπτώσεις που το ελατήριο δεν είναι οριζόντιο, αγνοώντας το βαρυτικό πεδίο , μετατοπίζοντας τη θέση αναφοράς από το Φ.Μ. στη Θ.Ι. της ταλάντωσης.

Και μια τελική παρατήρηση.  Αφού ΔU = Uολ – Uo όπου U είναι η ολική δυναμική ενέργεια σε τυχαία θέση και Uo = σταθ. είναι η ολική δυναμική ενέργεια στη Θ.Ι. της ταλάντωσης, καταλήγουμε στην εξής έκφραση για την ολική δυναμική ενέργεια :

Uολ = clip_image010+ σταθ.

Η καμπύλη της ολικής δυναμικής ενέργειας Uολ έχει την ίδια παραβολική μορφή με την καμπύλη της ελαστικής δυναμικής ενέργειας  clip_image002 όπως φαίνεται στις γραφικές παραστάσεις που ακολουθούν.





Uολ = clip_image010+ σταθ

Γ΄ Λυκειου


Δύο περιπτώσεις στην Απλή Αρμονική Ταλάντωση που η υποβάθμιση της δύναμης σε αλγεβρικό μέγεθος και η εύρεση της συνάρτησής της με την απομάκρυνση δημιουργεί δυσκολίες


Για να διαβάστε πιέστε εδώ: H δυσκολη υπόθεση της υποβάθμισης ενός διανυσματικού μεγέθους σε αλγεβρικό. PDF

Γ΄ Λυκειου

Σύγκρουση σφαιριδίου με ράβδο

Χωρίς τίτλο


Δύο σφαίρες Α και Β αμελητέων διαστάσεων , με μάζες m1 = M και m2 = M/2 αντίστοιχα, κινούνται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο με ίσες ταχύτητες clip_image002 και τη χρονική στιγμή t = 0 συγκρούονται με δύο πανομοιότυπες ράβδους μήκους L και μάζας Μ. Η σφαίρα Α συγκρούεται κατευθυνόμενη προς στο κέντρο μάζας της μίας ράβδου, ενώ η σφαίρα Β συγκρούεται κατευθυνόμενη σε απόσταση L/4 από το κέντρο μάζας της άλλης, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν οι σφαίρες συσσωματώνονται με τις ράβδους τότε τη χρονική στιγμή t μετά τις κρούσεις η σχέση που συνδέει τα διαστήματα S1 και S2 που έχουν διανύσει τα κέντρα μάζας της ράβδου Α και της ράβδου Β αντίστοιχα είναι:

α. S1clip_image005 S2 β. S1 = S2 γ. S1 =   clip_image007 S2


Επειδή στο σύστημα δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις , ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής για τις μεταφορικές κινήσεις των σφαιρών πριν και των συσσωματωμάτων μετά την κρούση. Έτσι έχουμε:

Για το σύστημα σφαίρα Α – ράβδος clip_image009ολαρχ = clip_image009[1]ολτελ clip_image011 Μυ = 2Μ υcm1 clip_image011[1] υcm1 = clip_image013

Για το σύστημα σφαίρα Β – ράβδος clip_image009[2]ολαρχ = clip_image009[3]ολτελ clip_image011[2] clip_image015 υ = clip_image017 υcm2 clip_image011[3] υcm2 = clip_image019


S1 = υcm1 t clip_image011[4] S1 = clip_image013[1] t

S2 = υcm2 t clip_image011[5] S2 = clip_image019[1] t

Διαιρώντας τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη παίρνουμε

clip_image021 = clip_image005[1] clip_image011[6] S1 = clip_image005[2] S2 άρα η σωστή απάντηση είναι η α.

Β΄ Λυκειου

To ναυάγιο, οι «τρελοί επιστήμονες» και o κινητήρας που καταναλώνει αέρα κοπανιστό!

Επιστημονική αποστολή ναυαγεί σε ερημικό νησί. Τα ενεργειακά της αποθέματα εξαντλούνται σύντομα. Για κακή  τύχη των επιστημόνων, στο νησί δεν πνέουν άνεμοι, δεν υπάρχουν ποτάμια, ο ουρανός καλύπτεται μονίμως από γκρίζα σύννεφα, η θερμοκρασία του αέρα και του ωκεανού είναι ίδιες κατά τη διάρκεια της μέρας και της νύχτας και η ατμοσφαιρική πίεση είναι σταθερή. Μέσα στην ατυχία τους οι επιστήμονες ανακαλύπτουν την ύπαρξη μιας κοιλότητας από την οποία διαχέεται υπό ατμοσφαιρική πίεση και σε θερμοκρασία περιβάλλοντος ένα χημικά αδρανές αέριο. Και η τύχη τους χαμογελά ακόμα περισσότερο, όταν διαπιστώνουν, ότι μαζί με τα υλικά και τα εργαλεία που έχουν διασώσει από το ναυάγιο και τα οποία τους επιτρέπουν να κατασκευάσουν μηχανικά εξαρτήματα, διαθέτουν και δύο ημιπερατές μεμβράνες, από τις οποίες η μία είναι ιδανικά διαπερατή από το αδρανές αέριο, αλλά όχι από τον αέρα ενώ η άλλη έχει την ακριβώς αντίθετη ιδιότητα. Και επειδή κατά κανόνα τα μυαλά των ανθρώπων κάτω από αντίξοες συνθήκες γίνονται πιο δημιουργικά (με μοναδική  εξαίρεση τα δικά μας, που επιμένουν μονότονα να ανακυκλώνουν καταστροφικές  νοοτροπίες και πρακτικές), καταφέρνουν να κατασκευάσουν έναν κινητήρα, εφαρμόζοντας δύο βασικούς νόμους:
Ο ένας είναι ο νόμος  του Dalton : Η πίεση ενός μίγματος αερίων που δεν αντιδρούν χημικά μεταξύ τους ισούται με το άθροισμα των μερικών πιέσεών τους . Μερική πίεση ενός αερίου συστατικού  αερίου µίγµατος, ονοµάζεται η  πίεση που θα ασκούσε το αέριο, αν µόνο του καταλάµβανε όλο τον όγκο του δοχείου, στην ίδια θερµοκρασία.
Ο άλλος αφορά την ισορροπία αερίου μέσα σε δοχείο που χωρίζεται σε δυο τμήματα με ημιπερατή μεμβράνη. Η ισορροπία αποκαθίσταται όταν εξισωθούν οι πιέσεις από τις δυο πλευρές της μεμβράνης. Αν εκατέρωθεν υπάρχουν μίγματα αερίων και η μεμβράνη είναι ημιπερατή από ένα από αυτά, τότε η ισορροπία αποκαθίσταται όταν εξισωθούν οι μερικές πιέσεις του αερίου από τις δυο της πλευρές.

Για να δείτε πως λειτουργεί ο κινητήρας πιέστε: ΕΝΑΣ ΠΕΡΙΕΡΓΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑΣ

Αναφορά : Έβδομη Διεθνής Ολυμπιάδα Φυσικής, Βαρσοβία 1974

Β΄ Λυκειου

Να δημιουργήσω το σύστημα ή μήπως θα ήταν καλύτερα να το διαλύσω;

Η δυναμική ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου μπορεί να οριστεί με δύο ισοδύναμους τρόπους: Ο ένας παρουσιάζεται στο βιβλίο της Φυσικής Γενικής Παιδείας της Β’  Λυκείου και σχετίζεται με την ενέργεια που απαιτείται για τη διάλυση ενός συστήματος φορτίων, ενώ άλλος – για κακή τύχη του ταλαίπωρου μαθητή –  παρουσιάζεται στο βιβλίο της Φυσικής Κατεύθυνσης της Β’  Λυκείου και σχετίζεται με την ενέργεια που απαιτείται για τη δημιουργία του.  Ποιος από τους δύο είναι προτιμότερος; Μα αυτό εξαρτάται φευ, από την δημιουργική ή την καταστροφική σας διάθεση…