Γ΄ Λυκειου

Οι εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, το σχολικό βιβλίο και μια εύλογη απορία.

Η φυσική είναι μια επιστήμη άρρηκτα συνδεδεμένη με τα μαθηματικά. Η πλήρης περιγραφή και κατανόηση ενός φαινομένου απαιτεί πολλές φορές τη χρήση περίπλοκων μαθηματικών. Ένα τέτοιο φαινόμενο είναι και οι εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, των οποίων η ποιοτική περιγραφή και ανάλυση στα πλαίσια ενός σχολικού εγχειριδίου δεν μπορεί παρά να είναι ελλιπής και να αφήνει κενά. Γι αυτό ίσως να μην υπάρχει και για τους μαθητές κανένα παιδαγωγικό όφελος, αλλά αυτό είναι ένα  θέμα που αφορά όλους εκείνους τους «σοφούς» που καταρτίζουν τα αναλυτικά προγράμματα.
Συνέχεια

Κλασσικό
Γ΄ Λυκειου

Επιτέλους τι είναι αυτή η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης;

Γνωρίζουμε ότι ένα παραμορφωμένο ελατήριο έχει ελαστική δυναμική ενέργεια clip_image002 όπου κ η σταθερά του ελατηρίου και Δclip_image002[10] η παραμόρφωση του ελατηρίου, η απόσταση δηλαδή του παραμορφωμένου άκρου του από το φυσικό του μήκος (Φ.Μ.). Στην Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ.)ενός συστήματος μάζας – οριζόντιου ελατηρίου, η θέση ισορροπίας (Θ.Ι.) ταυτίζεται με το φυσικό μήκος με αποτέλεσμα η απομάκρυνση χ να ταυτίζεται με την παραμόρφωση Δclip_image002[12], οπότε η ελαστική δυναμική ενέργεια γράφεται Uελ =clip_image002[8]Μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι για την περίπτωση του οριζόντιου ελατηρίου, η σχέση clip_image002[8]την οποία αποκαλούμε  δυναμική ενέργεια ταλάντωσης U είναι ουσιαστικά η ελαστική δυναμική ενέργεια Uελ . Έτσι  γράψουμε:

U =clip_image002[14]

Τι γίνεται όμως στην περίπτωση του κατακόρυφου ελατηρίου, όπου η Θ.Ι. δεν ταυτίζεται με το Φ.Μ., οπότε και η παραμόρφωση Δclip_image002[16] δεν ταυτίζεται με την απομάκρυνση χ; Ας  εξετάσουμε το ερώτημα αναλυτικά:

image

Στο σχήμα φαίνεται ένα σύστημα μάζας – κατακόρυφου ελατηρίου στο οποίο το φυσικό μήκος βρίσκεται σε ύψος h από το έδαφος. Καθώς το σύστημα ταλαντώνεται εμφανίζονται δυο μορφές δυναμικής ενέργειας : η ελαστική δυναμική ενέργεια Uελ εξ αιτίας της παραμόρφωσης του ελατηρίου και η βαρυτική δυναμική ενέργεια UB ως προς το επίπεδο του εδάφους. Το σύστημα λοιπόν έχει ολική δυναμική ενέργεια Uολ :

Uολ = UΒ + Uελ

Σύμφωνα με το σχήμα, στη Θ.Ι. της ταλάντωσης η ολική δυναμική ενέργεια Uο ισούται με:

Uo = mg (h – Δℓ) + clip_image002[18]= σταθ. (1)

Στην Τ.Θ. κάτω από τη Θ.Ι. της ταλάντωσης η ολική δυναμική ενέργεια Uολ’  ισούται με:

Uολ= mg (h – Δℓ – χ) + clip_image002[20]  (2)

Στην Τ.Θ. πάνω από τη Θ.Ι. της ταλάντωσης η ολική δυναμική ενέργεια Uολ’’  ισούται με:

Uολ’’ = mg [h –( Δℓ – χ)] + clip_image002[22]  (3)

Η μεταβολή στην ολική δυναμική ενέργεια ΔU = Uολ’ – Uo ισούται με :

ΔU = mg (h – Δℓ – χ) + clip_image002[24]– mg (h – Δℓ) + clip_image004clip_image006

ΔU = mg h – mgΔℓ – mgχ + clip_image008+ κ Δℓ x – mg h + mg Δℓ – clip_image004[1]clip_image006[1]

ΔU = – mgχ + clip_image010+ κ Δℓ x  (4)

Όμως από τη συνθήκη ισορροπίας στη Θ.Ι της ταλάντωσης έχουμε:

ΣF = 0 clip_image002[26] mg = κ Δclip_image004[6] clip_image002[27] mgx = κ Δclip_image004[7] x  (5)

Απο (4) και (5) καταλήγουμε στη σχέση:

ΔU =  clip_image010

Η μεταβολή στην ολική δυναμική ενέργεια ΔU = Uολ’’ – Uo ισούται με :

ΔU = mg [h – (Δℓ – χ)] + clip_image002[30]– mg (h – Δℓ) + clip_image004[10]clip_image006[6]

ΔU = mg h – mgΔℓ -+mgχ + clip_image008[4]-κ Δℓ x – mg h + mg Δℓ – clip_image004[11]clip_image006[7]

ΔU = +mgχ + clip_image010[7]-κ Δℓ x clip_image012

ΔU =  clip_image010

Η σχέση λοιπόν   clip_image010 , όπου χ η απομάκρυνση από τη Θ.Ι. της ταλάντωσης, εκφράζει την  μεταβολή στην ολική δυναμική ενέργεια ΔU, από τη Θ.Ι. της ταλάντωσης σε μια τυχαία θέση και της δώσαμε το όνομα δυναμική ενέργεια ταλάντωσης. Ουσιαστικά με τη σχέση αυτή περιγράφουμε ενεργειακά πιο απλά την Α.Α.Τ. σε όλες τις περιπτώσεις που το ελατήριο δεν είναι οριζόντιο, αγνοώντας το βαρυτικό πεδίο , μετατοπίζοντας τη θέση αναφοράς από το Φ.Μ. στη Θ.Ι. της ταλάντωσης.

Και μια τελική παρατήρηση.  Αφού ΔU = Uολ – Uo όπου U είναι η ολική δυναμική ενέργεια σε τυχαία θέση και Uo = σταθ. είναι η ολική δυναμική ενέργεια στη Θ.Ι. της ταλάντωσης, καταλήγουμε στην εξής έκφραση για την ολική δυναμική ενέργεια :

Uολ = clip_image010+ σταθ.

Η καμπύλη της ολικής δυναμικής ενέργειας Uολ έχει την ίδια παραβολική μορφή με την καμπύλη της ελαστικής δυναμικής ενέργειας  clip_image002 όπως φαίνεται στις γραφικές παραστάσεις που ακολουθούν.

 

image

clip_image002

image

Uολ = clip_image010+ σταθ

Κλασσικό
Γ΄ Λυκειου

Η ΔΥΣΚΟΛΗ ΥΠΟΘΕΣΗ ΤΗΣ ΥΠΟΒΑΘΜΙΣΗΣ ΕΝΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΣΕ ΑΛΓΕΒΡΙΚΟ.

Δύο περιπτώσεις στην Απλή Αρμονική Ταλάντωση που η υποβάθμιση της δύναμης σε αλγεβρικό μέγεθος και η εύρεση της συνάρτησής της με την απομάκρυνση δημιουργεί δυσκολίες

 

Για να διαβάστε πιέστε εδώ: H δυσκολη υπόθεση της υποβάθμισης ενός διανυσματικού μεγέθους σε αλγεβρικό. PDF

Κλασσικό
Γ΄ Λυκειου

Σύγκρουση σφαιριδίου με ράβδο

Χωρίς τίτλο

 

Δύο σφαίρες Α και Β αμελητέων διαστάσεων , με μάζες m1 = M και m2 = M/2 αντίστοιχα, κινούνται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο με ίσες ταχύτητες clip_image002 και τη χρονική στιγμή t = 0 συγκρούονται με δύο πανομοιότυπες ράβδους μήκους L και μάζας Μ. Η σφαίρα Α συγκρούεται κατευθυνόμενη προς στο κέντρο μάζας της μίας ράβδου, ενώ η σφαίρα Β συγκρούεται κατευθυνόμενη σε απόσταση L/4 από το κέντρο μάζας της άλλης, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν οι σφαίρες συσσωματώνονται με τις ράβδους τότε τη χρονική στιγμή t μετά τις κρούσεις η σχέση που συνδέει τα διαστήματα S1 και S2 που έχουν διανύσει τα κέντρα μάζας της ράβδου Α και της ράβδου Β αντίστοιχα είναι:

α. S1clip_image005 S2 β. S1 = S2 γ. S1 =   clip_image007 S2

Λύση

Επειδή στο σύστημα δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις , ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής για τις μεταφορικές κινήσεις των σφαιρών πριν και των συσσωματωμάτων μετά την κρούση. Έτσι έχουμε:

Για το σύστημα σφαίρα Α – ράβδος clip_image009ολαρχ = clip_image009[1]ολτελ clip_image011 Μυ = 2Μ υcm1 clip_image011[1] υcm1 = clip_image013

Για το σύστημα σφαίρα Β – ράβδος clip_image009[2]ολαρχ = clip_image009[3]ολτελ clip_image011[2] clip_image015 υ = clip_image017 υcm2 clip_image011[3] υcm2 = clip_image019

Όμως

S1 = υcm1 t clip_image011[4] S1 = clip_image013[1] t

S2 = υcm2 t clip_image011[5] S2 = clip_image019[1] t

Διαιρώντας τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη παίρνουμε

clip_image021 = clip_image005[1] clip_image011[6] S1 = clip_image005[2] S2 άρα η σωστή απάντηση είναι η α.

Κλασσικό
Γ΄ Λυκειου

Πλάκες με…έλκηθρα.

Ένα  πρόβλημα από την 4η Διεθνή Ολυμπιάδα Φυσικής (Σοβιετική Ένωση 1970), σχετικό με την ύλη του 5ου κεφαλαίου της Φυσικής Κατεύθυνσης της Γ΄Λυκείου.
Πλάκες με…έλκηθρα (εκφώνηση).

Πλάκες με…έλκηθρα (λύση)

Κλασσικό
Γ΄ Λυκειου

Τρεις κύλινδροι παίρνουν τον … κατήφορο

Μια διασκευή ενός προβλήματος από την έκτη Διεθνή Ολυμπιάδα Φυσικής (Ρουμανία 1972) που κάτι θυμίζει από το 4ο θέμα των Πανελληνίων του 2013.

Τρεις κύλινδροι παίρνουν τον … κατήφορο (εκφώνηση)

  Τρεις κύλινδροι παίρνουν τον … κατήφορο (λύση)

Κλασσικό